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Exemplo de um nó matemático
A topologia geométrica do próprio Universo está a voltar os matemáticos para a astrofísica. Qual é a forma de tudo o que nos rodeia?
Quando olha para o ambiente que o rodeia, pode parecer que está a viver num plano. Afinal de contas, é por isso que pode navegar numa nova cidade usando um mapa: um pedaço de papel plano que representa todos os lugares à sua volta.
Vivemos na superfície de uma esfera gigante, como uma bola de praia do tamanho da Terra com algumas saliências adicionadas. A superfície da esfera e o plano são dois espaços 2D possíveis, o que significa que podemos andar em duas direções: norte e sul ou este e oeste.
Em que outros espaços possíveis podemos estar a viver? Ou seja, que outros espaços à sua volta são 2D?
Através de um domínio chamado topologia geométrica, os matemáticos estudam todos os espaços possíveis em todas as dimensões. Quer estejamos a tentar conceber redes de sensores seguras, a extrair dados ou a utilizar origami para colocar satélites, a linguagem e as ideias subjacentes serão provavelmente as da topologia.
A forma do universo
Quando olha para o universo em que vive, este parece um espaço 3D, tal como a superfície da Terra parece um espaço 2D. No entanto, tal como a Terra, se olhasse para o universo como um todo, poderia ser um espaço mais complicado, como uma versão 3D gigante da superfície 2D da bola de praia ou algo ainda mais exótico do que isso.
Embora não precise de topologia para determinar que está a viver em algo como uma bola de praia gigante, conhecer todos os espaços 2D possíveis pode ser útil. Há mais de um século, os matemáticos descobriram todos os espaços 2D possíveis e muitas das suas propriedades.
Nas últimas décadas, os matemáticos aprenderam muito sobre todos os espaços 3D possíveis. Embora não tenhamos uma compreensão completa como temos para os espaços 2D, sabemos muito. Com este conhecimento, os físicos e os astrónomos podem tentar determinar em que espaço 3D as pessoas vivem realmente.
As opções tornam-se ainda mais complicadas se considerarmos o tempo como uma dimensão.
Note-se que, para descrever a localização de algo no espaço, por exemplo, um cometa, precisamos de quatro números: três para descrever a nossa posição e um para descrever o tempo em que estamos nessa posição. São estes quatro números que constituem um espaço 4D.
Agora, podemos considerar que espaços 4D são possíveis e em qual desses espaços vivemos.
Topologia em dimensões superiores
Nesta altura, pode parecer que não há razão para considerar espaços com dimensões superiores a quatro, uma vez que essa é a dimensão máxima imaginável que pode descrever o nosso universo. Mas um ramo da física chamado teoria das cordas sugere que o universo tem muito mais dimensões do que quatro.
Existem inúmeros outros problemas científicos em que surgem espaços de elevada dimensão, desde a modelação do movimento de planetas e naves espaciais até à tentativa de compreender a “forma” de grandes conjuntos de dados.
Enrolados em nós
Outro tipo de problema que os topólogos estudam é a forma como um espaço pode estar dentro de outro.
Por exemplo, se segurarmos um laço de fio com um nó, então temos um espaço 1D (o laço de fio) dentro de um espaço 3D (o nosso quarto). Estes laços são chamados nós matemáticos.
O estudo dos nós surgiu inicialmente na física, mas tornou-se uma área central da topologia. São essenciais para a forma como os cientistas compreendem os espaços 3D e 4D e têm uma estrutura deliciosa e subtil que os investigadores ainda estão a tentar compreender.
Em que formato é que vivemos?
Há ainda inúmeras questões por responder sobre os espaços. Por exemplo, a conjetura de Poincaré sobre o espaço 4D liso pergunta qual é o espaço 4D fechado “mais simples” e a conjetura da fatia de fita visa compreender como os nós nos espaços 3D se relacionam com as superfícies nos espaços 4D.
A topologia é atualmente útil na ciência e na engenharia. Desvendar mais mistérios dos espaços em todas as dimensões será inestimável para compreender o mundo em que vivemos e resolver problemas do mundo real.
ZAP // The Conversation
