ZAP // DALL-E-2
Manter-se no mesmo nível é mais fácil do que mudar de nível?
Durante décadas, a “conjetura do beliche” foi um ponto de referência da teoria dos grafos, amplamente aceite como verdadeira (apesar de não ter provas).
Proposta pelo físico Pieter Kasteleyn em 1985, a conjetura sugeria uma ideia aparentemente intuitiva sobre probabilidades na travessia de grafos.
No entanto, uma equipa de matemáticos refutou esta hipótese de longa data em artigo publicado no arXiv.
O que é a “conjetura do beliche”?
A conjetura envolve “gráficos de beliche”, que consistem em dois gráficos idênticos ligados verticalmente por “postes”.
Postulava que, para quaisquer dois pontos (vértices) u e v no grafo, a probabilidade de alcançar v a partir de u no mesmo nível (base) é sempre maior ou igual à probabilidade de alcançar v (o ponto correspondente no nível superior) através dos “postes” de ligação, explica a Quanta.
A ideia parecia evidente: intuitivamente, manter-se no mesmo nível pareceria mais fácil do que mudar de nível. As tentativas de provar a conjetura sempre mantiveram sua lógica, e nenhum contra-exemplo tinha sido encontrado — até agora.
A refutação
A refutação de uma hipótese requer muitas vezes apenas um contra-exemplo, e foi precisamente isso que o matemático Igor Pak e os seus colegas procuraram encontrar. Inicialmente, utilizaram métodos computacionais, testando pequenos grafos e recorrendo à IA e às redes neuronais.
No entanto, os seus algoritmos não conseguiram identificar contra-exemplos definitivos e, mesmo que se encontrasse um, provavelmente não cumpriria os padrões rigorosos da prova matemática.
A descoberta deu-se quando um artigo de Lawrence Hollom, pós-graduado da Universidade de Cambridge, apresentou uma perspetiva alternativa.
A investigação de Hollom examinou uma versão generalizada da conjetura da cama de beliche envolvendo hipergrafos e descobriu que era falsa, o que inspirou a equipa de Pak a construir um contra-exemplo para a conjetura original.
O resultado foi um gráfico colossal com 7.222 vértices e 14.442 arestas. Embora a diferença de probabilidades para o grafo fosse minúscula, — da ordem de 10-6500, era definitivamente negativa, provando que a conjetura era falsa.
A refutação da conjetura da cama de beliche tem implicações teóricas e práticas. Para a matemática e a física aplicadas, a validade da conjetura teria reforçado as suposições sobre fenómenos como a percolação de fluidos em sólidos. A sua falsidade complica estes modelos, obrigando os investigadores a reavaliar crenças fundamentais.
Para os matemáticos, a lição é clara: mesmo as conjeturas mais intuitivas exigem um exame minucioso. Como disse o matemático de Princeton Noga Alon, “temos de desconfiar, mesmo de coisas que intuitivamente parecem muito prováveis de serem verdadeiras”.
