Há uma nova resposta para o problema matemático “mais antigo de sempre”

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Naquele que é um dos problemas matemáticos mais antigos do mundo, relacionado com frações, o investigador Thomas Bloom propôs uma nova resposta.

“Pode ser o problema mais antigo de todos os tempos”, disse Carl Pomerance, da Dartmouth College, referindo-se ao problema que data do Antigo Egito.

A questão envolve frações que apresentam um 1 no seu numerador, como 1⁄2, 1⁄7 ou 1⁄122. Este tipo de frações era muito importante porque eram as únicos que o seu sistema numérico continha, à exceção de 2/3.

Nos anos 70, Paul Erdős e Ronald Graham perguntaram o quão difícil poderia ser projetar conjuntos de números inteiros que não continham um subconjunto cujos recíprocos somam 1.

Por exemplo, o conjunto {2, 3, 6, 9, 13} não funciona, porque contém o subconjunto {2, 3, 6}, cujos recíprocos são as frações 1⁄2, 1⁄3 e 1⁄6 — que somam 1, explica a Wired.

Erdős e Graham conjeturaram que qualquer conjunto que mostre alguma proporção positiva e suficientemente grande dos números inteiros deve conter um subconjunto cujos recíprocos somem 1.

Se o conjunto inicial satisfizer esta condição, mesmo que os seus membros tenham sido escolhidos deliberadamente para tornar mais difícil encontrar esse subconjunto, o subconjunto teria que existir.

A solução oferecida por Bloom começou quando foi convidado a apresentar um artigo científico, publicado há 20 anos, por Ernie Croot. O matemático resolveu a chamada versão colorida do problema de Erdős-Graham.

Nesta dimensão do problema, os números inteiros são ordenados aleatoriamente em diferentes baldes divididos por cores. Erdős e Graham previram que não importa quantos baldes diferentes haja, pelo menos um balde deve conter um subconjunto de números inteiros cujos recíprocos somam 1.

Croot conseguiu confirmar a previsão feita por Erdős e Graham, mas o seu artigo não conseguiu responder à versão de densidade da conjetura de Erdős-Graham.

Croot provou que se um conjunto tem números suficientes com muitos fatores primos relativamente pequenos, deve sempre conter um subconjunto cujos recíprocos somam 1.

No entanto, a solução de Croot é conseguida ao escolher o balde a dedo. A resposta pode não ser tão fácil de encontrar se o balde for aleatório. Mas foi então que apareceu Bloom.

“Eu pensei, espera, o método de Croot é realmente mais forte do que parecia à primeira vista”, disse o autor do novo artigo.

Bloom adaptou a estratégia de Croot para que funcionasse para números com grandes fatores primos.

Enquanto Croot desconsiderou números inteiros com grandes fatores primos para provar que esses termos eram pequenos o suficiente, o método de Bloom deu mais margem de manobra para lidar com números que poderiam significar problemas para a soma exponencial. Contudo, Bloom provou que havia relativamente poucas ocasiões onde isso acontecia.

Em vez de caçar conjuntos de números cujos recíprocos somam 1, Bloom procurou conjuntos com recíprocos que somam frações constituintes mais pequenas. Depois, usou-os como blocos de construção para chegar ao resultado desejado.