Há uma ligação escondida entre números primos

Será que os números primos têm alguma ligação? Será que diferentes campos da matemática podem estar conectados? O matemático canadiano Robert Langlands passou a vida a tentar responder a estas perguntas. Por isso, acabou de vencer o Prémio Abel de 2018, um dos prémios de maior prestígio da matemática.

O matemático Robert Langlands descobriu ligações surpreendentes e abrangentes entre a álgebra, a teoria dos números e a análise.

O matemático desenvolveu o programa Langlands, em 1967, também conhecido como a “grande teoria unificada da matemática” e trata-se de uma espécie de Pedra de Rosetta da matemática, que permite aos investigadores traduzir problemas entre diferentes campos da matemática.

Dessa forma, um problema que parece insolúvel num destes “idiomas” pode se tornar mais acessível no outro.

Nas últimas décadas, outros investigadores passaram a expandir enormemente o escopo do programa. Pelo menos três matemáticos venceram prémios Fields Medals por confirmarem pequenas partes do esquema.

Com o tempo, os cientistas perceberam que alguns problemas antigos de matemática eram, na verdade, casos especiais do programa. Um deles, chamado conjeturas de Weil, foi resolvido pelo matemático belga Pierre Deligne, que recebeu o Prémio Abel em 2013 por esse trabalho.

Outro problema foi solucionado na década de 1990 pelo teórico britânico de números Andrew Wiles e co-autor: esse trabalho levou-os a resolver o último teorema de Fermat, ganhando o Prémio Abel de Wiles em 2016.

“É quase como se fosse um arqueólogo e desenterrasse uma pedra no deserto e ela acabasse por ser o topo de uma pirâmide“, compara o físico matemático Robbert Dijkgraaf, que dirige o Instituto para Estudos Avançados da Universidade Princeton, nos EUA, onde Langlands trabalha até hoje, aos 81 anos de idade.

“É revolucionário, acho, no que diz respeito à história da matemática”, complementa James Arthur, matemático da Universidade de Toronto e ex-aluno de Langlands.

Os padrões dos primos

Os matemáticos sempre estiveram interessados ​​em encontrar padrões nos números primos, aqueles números especiais que são divisíveis apenas por um e por eles mesmos.

Os primos são como os elementos atómicos da teoria dos números, as peças fundamentais a partir das quais o estudo da aritmética é construído, mas parecem estar espalhados aleatoriamente entre todos os números.

Para encontrar padrões entre eles, como a frequência com que ocorrem, é necessário relacioná-los a outra coisa. Vistos corretamente, os primos agem como uma cifra de música, que se transforma numa bela canção quando lida através da tecla certa.

“Parecem acidentais, mas especialmente através do programa Langlands, está se a mostrar que têm uma estrutura extremamente complexa que os relaciona com todo outras coisas”, aponta Arthur.

Uma questão sobre a estrutura dos primos é quais podem ser expressos como uma soma de dois números quadrados. Por exemplo, o 5 é um número primo que pode ser o resultado da soma entre 2² e 1², assim como o 13, que é um primo que pode ser a soma entre 3² e2².

No século XVII, os teóricos dos números descobriram que todos os primos que podem ser expressos como uma soma de dois quadrados partilham outra propriedade: deixam um resto de 1 quando são divididos por 4.

Este trabalho foi o começo de uma tentativa de encontrar uma estrutura oculta nos primos. No final do século XVIII, Carl Friedrich Gauss generalizou esse elo surpreendente, formulando uma lei de “reciprocidade” que ligava certos primos (os que são uma soma de dois quadrados) a uma característica identificadora (quando divididos por 4, deixam um resto de 1).

Numa carta enviada ao famoso matemático André Weil na década de 60, na qual Langlands articulava os seus pensamentos sobre o assunto, Langlands propôs uma vasta extensão da lei de reciprocidade que Gauss havia descoberto.

O trabalho de Gauss era aplicado a equações quadráticas – aquelas com expoentes não superiores ao número 2. Langlands sugeriu que os números primos codificados em equações de grau superior (como equações cúbicas e quárticas) deveriam estar numa relação de reciprocidade com a matemática da análise harmónica, que se desenvolve a partir dos cálculos e é frequentemente usada para resolver problemas da física.

Por exemplo, os cientistas do século XIX ficaram surpresos ao descobrir que, quando olhavam para a luz das estrelas através de um prisma, não encontravam um espectro contínuo de cores.

Em vez disso, o espectro era interrompido por linhas pretas, agora chamadas espectros de absorção, onde a luz estava em falta. Os cientistas perceberam que a luz que faltava tinha sido absorvida pelos elementos das estrelas. Essa descoberta forneceu evidências sólidas de que as estrelas e nosso planeta são feitos do mesmo material.

Estas linhas espectrais tornaram-se objetos de interesse matemático. Os comprimentos de onda ausentes resultaram numa sequência de números – as frequências da luz ausente.

Os matemáticos poderiam estudar esses números através da análise, ou mesmo trabalhar em tipos totalmente novos de equações – talvez inspiradas por questões da física, mas resultantes apenas da análise e da geometria. Com base nessas novas equações, poderiam estudar uma noção paralela dos espectros de absorção.

O programa Langlands relaciona os números primos de equações polinomiais aos espectros das equações diferenciais estudadas em análise e geometria. O programa afirma que deveria haver uma relação de reciprocidade entre estes campos. Como resultado, devemos ser capazes de caracterizar quais números primos aparecem em configurações específicas, entendendo quais números aparecem nos espectros correspondentes.

Os dois conjuntos de números não podem ser comparados diretamente, no entanto. Cada um deve ser traduzido através de diferentes tipos de objetos matemáticos. Em particular, as representações de Galois, que são baseadas em primos, devem emparelhar com objetos chamados formas automórficas, que contêm os espectros relevantes.

Hoje, os matemáticos que trabalham no programa Langlands tentam provar esse relacionamento e muitas outras conjeturas relacionadas. Ao mesmo tempo, usam ligações do tipo Langlands para resolver problemas que, de outra forma, parecem fora de alcance.

O resultado mais famoso nesse sentido é a prova de Andrew Wiles, em 1995, do último teorema de Fermat. A prova de Wiles dependia em parte exatamente do tipo de relação entre teoria dos números e análise que Langlands tinha previsto décadas antes.

“Foi um grande prazer para mim, mas também uma grande surpresa”, escreveu Langlands em 2007, quando Wiles incorporou parte do seu trabalho na prova. O campo que floresceu a partir do programa de Langlands tornou-se tão amplo que Langlands afirma não entender completamente todo o trabalho que se passa nele e, em particular, algumas das implicações que a versão geométrica pode ter na física.

O seu colega de IAS, Edward Witten, um físico teórico e vencedor da Medalha Fields de 1990, que investigou essas ligações nos anos 2000, disse: “Eu pessoalmente só entendo um pouquinho do programa de Langlands”.

O programa Langlands expandiu-se consideravelmente ao longo dos anos. No entanto, quando toda a maquinaria complexa que foi criada para realizar a visão de Langlands é posta de lado, é possível ver que estes estudos são motivados por algumas das preocupações matemáticas mais básicas.

“Compreender as propriedades pelas quais os primos ocorrem numa equação basicamente equivale a uma classificação fundamental do mundo aritmético”, define Arthur.

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