É complicado contar coisas que não param de se mexer; imagine um pastor que tem de contar todas as suas ovelhas. O que lhe vale é a existência de um truque matemático que ajuda a ter controlo sobre o seu rebanho.
Quer se trate de ovelhas ou fósforos dentro de uma caixa, é difícil contar objetos que se movem.
Felizmente, existe uma técnica que permite calcular o número de objetos sem ter de os contar ‘um a um’.
Num artigo na New Scientist, a matemática Katie Steckles ensina-nos um truque para contar “bichinhos carpinteiros”.
Captura-recaptura
O método de captura-recaptura consiste em obter uma amostra. Por exemplo, no caso do pastor, esperar que algumas ovelhas passem e depois recolher algumas – marcar os indivíduos de forma distinta e depois libertá-los na população.
Passado algum tempo, repete-se o processo para escolher outro grupo de ovelhas e conta-se quantos delas já estão marcadas.
Se capturou, digamos, 50 animais inicialmente e os marcou a todos, e depois, no passo de recaptura, descobriu que metade dos animais que viu estavam marcados, isso diz-lhe algo sobre toda a população.
Uma vez que metade da amostra está marcada, isso implica que metade de toda a população está marcada – portanto, deve haver cerca de 100 indivíduos.
Isto pode dar uma “estimativa razoavelmente exata” – escreve o matemático – de uma população, sem ter de encontrar e contar cada um dos seus membros.
Durante a II Guerra Mundial, os estatísticos aliados queriam determinar o número de tanques que o exército alemão estava a produzir. Os tanques capturados não podiam ser relançados, mas, como os componentes dos tanques são marcados com números de série, uma outra abordagem permitiu-lhes fazer uma estimativa.
Registaram os números de série de todos os tanques capturados ou destruídos, partindo do princípio de que estavam numerados sequencialmente e distribuídos aleatoriamente. Se o maior número de série nos seus dados for L e o número de tanques capturados for n, uma estimativa do número total de tanques é dada por:
L + L/n
Assim, explica Katie Steckles, se tivéssemos quatro números, o maior dos quais era 80, poderíamos assumir que toda a gama se estende por mais 80/4 = 20, pelo que haveria cerca de 100 tanques no total.
Isto é conhecido como o “problema do tanque alemão”, em estatística.
Experiência dos garfos de cantina
Steckles conta que dá o exemplo de uma colega, que pediu aos seus alunos que calculassem o número de garfos existentes na cantina da escola – impossível de contar porque, em qualquer altura, alguns estarão a ser utilizados e outros estarão a ser lavados.
A sua turma “capturou” um conjunto de garfos e marcou cada um deles com uma gota de verniz das unhas, libertando-os depois de novo na população.
Uma semana depois, recapturaram outra amostra da população e utilizaram-na para fazer uma estimativa do número total de garfos.
