(dr) Zilin Jiang
Num icosaedro regular (violeta), seis diagonais interiores (linhas vermelhas) formam ângulos iguais uns aos outros
Um problema geométrico que tem intrigado os cientistas há, pelo menos, 70 anos foi resolvido por matemáticos do Massachusetts Institute of Technology (MIT).
As linhas equiangulares são linhas no espaço que passam por um único ponto e cujos ângulos em pares são todos iguais. Em 2D, representa as três diagonais de um hexágono, e em 3D, as seis linhas que ligam os vértices opostos de um icosaedro. Mas os matemáticos não estão limitados a três dimensões.
Citado pelo Europa Press, o autor principal da investigação, Yufei Zhao, disse que, “em grandes dimensões, as possibilidades podem parecer ilimitadas”, apesar de não o serem realmente – esta é a conclusão da equipa do Massachusetts Institute of Technology (MIT), que resolveu um problema sobre a geometria das linhas no espaço de alta dimensão.
O estudo, que será publicado na edição de janeiro de 2022 da Annals of Mathematics, determina o número máximo possível de linhas que podem ser colocadas de modo a que sejam separadas por pares pelo mesmo ângulo.
Neste sentido, a matemática das linhas equiangulares pode ser codificada usando a teoria dos grafos espectrais, que nos diz como utilizar ferramentas de álgebra linear para compreender gráficos e redes. O “espectro” de um grafo é obtido através da conversão de um gráfico numa matriz e observando os seus valores.
“É como iluminar um feixe de luz intensa num gráfico e depois examinar o espectro de cores que aparece”, explicou Zhao. “Descobrimos que o espectro emitido nunca pode estar demasiado concentrado perto do topo. Este facto fundamental sobre os grafos espectrais nunca foi observado.”
Este trabalho fornece um novo teorema na teoria dos grafos espectrais: um grafo de grau limitado deve ter uma multiplicidade sublinear de segundos valores próprios. A prova requer conhecimentos inteligentes que relacionam o espectro de um grafo com o espectro de pequenas partes do gráfico, escreve o portal.
O comunicado do MIT explica que compreender linhas equiangulares pode ter importantes implicações na codificação e comunicação, uma vez que são exemplos de “códigos esféricos” – ferramentas importantes na teoria da informação, que permitem que diferentes partes enviem mensagens umas às outras através de um canal de comunicação ruidoso.
Não é gráficos mas sim grafos. Gráfico é uma representação de valores de uma ou mais grandezas. Grafo é um objecto matemático composto por um conjunto de vértices e de arestas (há quem use a terminologia nós e arcos). Um uso frequente dos grafos é em teoria de redes, que podem ser modeladas matematicamente por grafos.
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