A melhor forma de embrulhar cinco laranjas pode parecer algo simples, mas a verdade é que intrigou matemáticos durante séculos.
A hipótese de Riemann e o problema “P versus NP” são dois dos maiores enigmas da matemática por resolver. Outro dos quebra-cabeças que tirou o sono aos matemáticos durante séculos parece ser algo bem mais banal: como embrulhar cinco laranjas, de forma a que fiquem compactas e gastando o menos papel de embrulho possível.
Foram precisos mais de 400 anos para se provar que o melhor empilhamento de infinitas bolas num espaço tridimensional é conseguido organizando-as em forma de pirâmide.
A conjetura de Kepler afirma que um número infinito de esferas idênticas preenche melhor o espaço tridimensional se as empilharmos como balas de canhão. No primeiro nível, dispomo-las ao longo de uma grelha triangular e, no segundo nível, colocamos uma esfera em cada espaço. O terceiro nível é novamente idêntico ao primeiro, e assim por diante.
No entanto, destaca a Scientific American, a questão é bastante diferente no que toca a um número de bolas finitas.
Pegando no exemplo de embrulhar laranjas, com uma ou duas é fácil perceber como organizá-las da melhor forma possível. Com três, a tarefa é mais complicada. Pode dispô-las em fila ou então formar um triângulo.
Primeiro, decompomos as esferas em formas geométricas individuais e calculamos os seus volumes. Comparando as duas disposições, verificamos que a disposição em fila é mais eficiente em termos de espaço.
As melhores disposições de embrulho de laranjas tornam-se mais complexas com o aumento do número de esferas. Pensa-se que a disposição em fila é a melhor para até 55 esferas, enquanto a pirâmide poupa mais espaço para 56 esferas. No entanto, a disposição exata é desconhecida, deixando em aberto a hipótese de arranjos mais eficientes em termos de espaço.
Para quantidades de laranjas como 59, 60, 61, ou 62, e coleções com pelo menos 65 esferas, o esquema piramidal é considerado ótimo. Para quantidades inferiores a 56 ou iguais a 57, 58, 63 ou 64, a disposição em fila parece a melhor. A otimização muda de novo para uma disposição em grupos para 59, 60 ou 61 esferas.
Em 1975, Fejes Tóth expressou a sua agora famosa “conjetura da salsicha” para dimensões superiores. Segundo ele, o pacote de salsichas é ótimo para qualquer número finito de esferas em cinco ou mais dimensões.
Resumindo, se este Natal oferecer 42 laranjas tridimensionais a um ente querido, o melhor será dispo-las em fila. E se, como na pergunta original, estivesse a oferecer apenas cinco laranjas, então o embrulho em fila seria perfeito.
