Dupla descoberta. Matemático resolve dois problemas sem solução há décadas

Com apenas uma caneta e papel, um professor da Universidade Rutgers-New Brunswick, que dedicou a sua carreira a resolver os mistérios da matemática pura, resolveu dois problemas distintos e fundamentais que deixaram os matemáticos perplexos durante décadas.

O matemático vietnamita Pham Huu Tiep completou a Conjetura da Altura Zero, proposta em 1955 por Richard Brauer, importante matemático germano-americano falecido em 1977, e resolveu o problema de teoria de Deligne-Lusztig.

As soluções para estes problemas de longa data podem melhorar a nossa compreensão das simetrias de estruturas e objetos na natureza e na ciência, bem como de vários processos aleatórios que surgem em domínios que vão da química e da física à engenharia, à informática e à economia.

A prova da conjetura da Altura Zero, geralmente considerada como um dos desafios mais importantes num domínio da matemática conhecido como a teoria da representação de grupos finitos, foi publicada na edição de setembro dos Annals of Mathematics.

“Uma conjetura é uma ideia que se acredita ter alguma validade“, explica Tiep, que pensou no problema de Brauer durante a maior parte da sua carreira e trabalhou intensamente nele nos últimos 10 anos.

“Mas as conjecturas têm de ser provadas. Eu estava à espera de fazer avançar o campo. Nunca esperei ser capaz de resolver este problema”, acrescenta o professor de Matemática da Rutgers School of Arts and Science, em comunicado publicado no site da universidade.

De certa forma, Tiep e os seus colegas têm seguido um plano de desafios que Brauer lhes lançou numa série de conjecturas matemáticas apresentadas e publicadas nos anos 1950-60.

“Alguns matemáticos têm este intelecto raro“, disse Tiep sobre Brauer. “É como se tivessem vindo de outro planeta ou de outro mundo. São capazes de ver fenómenos ocultos que os outros não vêem.”

No segundo avanço, Tiep resolveu um problema difícil no que é conhecido como a teoria de Deligne-Lusztig, parte da maquinaria fundamental da teoria da representação.

A descoberta diz respeito aos traços, uma caraterística importante de uma matriz retangular conhecida como matriz. O traço de uma matriz é a soma dos seus elementos diagonais.

O trabalho foi apresentado em pormenor em dois artigos, o primeiro publicado na revista Inventiones mathematicae, e o segundo na revista Annals.

“O trabalho de alta qualidade de Tiep e a sua experiência em grupos finitos permitiram que a Rutgers mantivesse o seu estatuto de centro mundial de topo nesta área”, afirmou Stephen Miller, professor presidente do Departamento de Matemática da Rutgers.

“Uma das grandes realizações da matemática do século XX foi a classificação dos chamados grupos finitos ‘simples’, e esta investigação foi conduzida a partir da Rutgers; muitos dos exemplos mais interessantes foram descobertos aqui. Através da incrível extensão do seu trabalho, Tiep dá visibilidade internacional ao nosso departamento”, acrescenta Miller.

Segundo Tiep, é provável que os conhecimentos adquiridos com a solução melhorem consideravelmente a compreensão dos traços por parte dos matemáticos.

A solução também fornece informações que podem levar a avanços noutros problemas importantes da matemática, incluindo conjecturas colocadas pelo matemático da Universidade da Florida John Thompson e pelo matemático israelita Alexander Lubotzky.

Ambas as descobertas do matemático vietnamita são avanços no domínio da teoria da representação de grupos finitos, um subconjunto da álgebra.

A teoria da representação é uma ferramenta importante em muitas áreas da matemática, incluindo a teoria dos números e a geometria algébrica, bem como nas ciências físicas, incluindo a física das partículas.

Através de objectos matemáticos conhecidos como grupos, a teoria da representação também tem sido utilizada para estudar a simetria em moléculas, encriptar mensagens e produzir códigos de correção de erros.

Seguindo os princípios da teoria da representação, os matemáticos pegam em formas abstractas que existem na geometria euclidiana – algumas delas extremamente complexas – e transformam-nas em conjuntos de números.

Isto pode ser conseguido através da identificação de determinados pontos que existem em cada forma tridimensional ou de dimensão superior e da sua conversão em números colocados em linhas e colunas.

A operação inversa também tem de funcionar, explica Tiep: “É preciso ser capaz de reconstituir a forma a partir da sequência de números”.

Ao contrário de muitos dos seus colegas das ciências físicas, que recorrem frequentemente a dispositivos complexos para fazer avançar o seu trabalho, Tiep usou apenas uma caneta e papel para conduzir a sua investigação — que até agora resultou em cinco livros e mais de 200 artigos nas principais revistas de matemática.

Tiep anota frequentemente as fórmulas matemáticas ou frases que indicam cadeias de lógica, e mantém continuamente conversas com os seus colegas, à medida que avançam passo a passo numa prova. Mas o progresso pode surgir da reflexão interna, diz Tiep, e as ideias surgem quando menos se espera.

“Talvez esteja a passear com os nossos filhos ou a fazer jardinagem com a minha mulher ou simplesmente a fazer algo na cozinha”, disse. “A minha mulher diz que sabe sempre quando estou a pensar em matemática“.