Mistério de 32 anos resolvido. Supercomputador revela o nono número de Dedekind

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Os primeiros oito números de Dedekind são conhecidos, mas o nono tem permanecido um mistério. Recentemente, cientistas da KU Leuven e da Universidade de Paderborn resolveram este problema matemático com décadas de existência.

Os números de Dedekind são uma série de números inteiros em rápido crescimento. Estão relacionados com as funções monótonas, que são funções matemáticas que recebem uma entrada binária (0 ou 1) e produzem uma saída binária.

Para melhor compreender o que são números de Dedekind e como se relacionam com funções monótonas, consideremos um jogo com um cubo n-dimensional (ou hipercubo). Imaginemos que equilibramos o cubo num dos vértices e pintamos cada um dos restantes vértices de branco ou vermelho.

Há uma regra que deve ser seguida: um canto branco não pode ser colocado sobre um canto vermelho. Esta regra cria uma interseção vertical vermelho-branco.

Ora, o objetivo do jogo é contar o número de intersecções ou cortes que podem ser feitos – e este é o número de Dedekind.

Números de Dedekind

O número de Dedekind representa o máximo de cortes ou interseções possíveis que podem ser feitos num hipercubo, sendo que as n-dimensões do cubo correspondem ao n-ésimo número de Dedekind.

Por exemplo, o oitavo número de Dedekind tem 23 dígitos, que é o número máximo de cortes diferentes que podem ser feitos num cubo de oito dimensões, seguindo a regra acima descrita.

Os números de Dedekind crescem rapidamente à medida que a dimensão do cubo aumenta, tornando os cálculos muito complexos. O oitavo número de Dedekind foi encontrado em 1991, utilizando o computador mais potente da altura – um Cray 2. Recentemente, uma equipa de investigadores calculou o nono número de Dedekind num supercomputador.

Nono número de Dedekind

Segundo o Interesting Engineering, mais recente descoberta começou pelo trabalho do professor Patrick De Causmaecker, que desenvolveu uma técnica conhecida como fórmula do coeficiente P.

Esta fórmula permite calcular os números de Dedekind não por contagem, mas por uma soma muito grande. O D(8) pode ser descodificado em apenas oito minutos num computador comum, mas o que demora oito minutos para D(8), pode levar centenas de milhares de anos para descobrir o D(9).

Neste caso, ao explorar as simetrias da fórmula, a equipa conseguiu reduzir o número de termos para “apenas” 5,5×1018. “Em comparação, o número de grãos de areia na Terra é de cerca de 7,5×1018. Para um supercomputador moderno, 5,5×1018 operações são bastante exequíveis”, explicou o investigador Lennart Van Hirtum.

A equipa decidiu então desenvolver um acelerador de hardware específico para a aplicação, utilizando FPGAs (field programmable gate arrays) para aumentar a eficiência computacional. As FPGAs são unidades aritméticas altamente especializadas que podem realizar cálculos em paralelo, fornecendo um processamento mais rápido nomeadamente para cálculos matemáticos complexos.

O cálculo do D(9), que demorou cerca de cinco meses, foi realizado no supercomputador Noctua 2, equipado com sistemas FPGA, no Centro de Computação Paralela de Paderborn.

A 8 de março de 2023, a equipa encontrou o nono número de Dedekind: 286386577668298411128469151667598498812366. A descoberta pôs fim a um mistério matemático com 32 anos.

As recentes descobertas serão apresentadas, em setembro, no International Workshop on Boolean Functions and their Applications (BFA), na Noruega.