Hong Wang, Joshua Zahl
O “espantoso” avanço resolve uma barreira a muitas outras questões matemáticas. Parecia “impossível”, mas foi a falta de contra-exemplos que acabou por resolver o problema.
O maior avanço do século XXI no “problema da agulha”. É assim que o descreve a New Scientist. Mas há quem vá mais longe: “Este trabalho é talvez o maior avanço da matemática no século atual”, diz o matemático Nets Katz.
O problema, formulado pela primeira vez em 1917 por Sōichi Kakeya, é fácil de enunciar (só não tanto de explicar): Quantas formas pode ter uma agulha enquanto gira 360 graus?
Os matemáticos consideraram a questão de uma agulha infinitamente fina e descobriram que a área da forma mais pequena necessária para a fazer girar era zero, mesmo com um comprimento definido.
Uma questão que ficou conhecida como a conjetura de Kakeya pergunta se a dimensão da forma traçada pelas manobras da agulha seria sempre a mesma que a do espaço em que se move. Essa questão foi comprovada para uma agulha 2D, mas, até agora, nunca o tinha sido para casos de agulhas 3D.
Até agora. Os matemáticos Joshua Zahl e Hong Wang provaram num novo estudo que o volume através do qual a agulha se move também tem de ser 3D.
“Não nos devemos deixar entusiasmar demasiado, porque muitos matemáticos, a dada altura da sua vida, pensaram que tinham resolvido um problema sério”, diz Zahl. “No passado, pensei que talvez tivesse resolvido a conjetura de Kakeya durante uma tarde e depois apercebi-me de que não passava de um sonho impossível”.
“Impossível” era a palavra em que até o próprio investigador acreditava. Mas, em conjunto, a equipa acabou por chegar a uma conclusão… andando “para trás” em vez de “para a frente”.
Começaram por criar contra-exemplos imaginários. Mas descobriram que todos esses contra-exemplos contradiziam teorias já comprovadas anteriormente. Ora, se os contra-exemplos não são possíveis, a conjetura tem de ser verdadeira.
“No meu subcampo de análise, é certamente o maior avanço dos últimos 10 anos“, comenta o matemático Terrence Tao. “Esta conjetura faz parte de toda uma família de problemas que pareciam impossíveis”. Para além disso, acrescenta, “eles tiraram muito mais proveito deste método, é espantoso“.
Segundo Katz, esta nova prova “resolve completamente um problema que foi atacado por uma variedade de técnicas por várias das principais figuras da área, a maioria das quais obteve apenas resultados parciais modestos”.
Tao diz que agora há vários problemas “desbloqueados”: “Prevejo anos e anos de atividade em toda esta árvore de problemas mais difíceis na teoria dos números, equações diferenciais parciais, combinatória e assim por diante, que eram considerados sem esperança e que agora parecem muito difíceis”.
