Dois grupos de matemáticos acabaram de alargar o domínio da incognoscibilidade matemática, através do famoso 10.º problema de Hilbert.
Em 1900, David Hilbert apresentou 23 problemas fundamentais para a matemática, sonhando com um sistema completo onde todas as verdades matemáticas fossem provadas verdadeiras ou falsas.
No entanto, na década de 1930, Kurt Gödel demonstrou que tal ideia era impossível, provando que qualquer sistema matemático conteria afirmações indecidíveis.
Alan Turing reforçou depois esta ideia ao mostrar que existem problemas impossíveis de resolver, mesmo com algoritmos computacionais.
Entre os problemas de Hilbert, o 10.º procurava saber se haveria um algoritmo capaz de determinar se uma equação diofantina tem soluções inteiras. Equações diofantinas são, precisamente, equações polinómicas em que as soluções procuradas são números inteiros.
Em 1970, Yuri Matiyasevich provou que tal algoritmo não existe, tornando este problema igualmente indecidível.
Durante décadas, matemáticos tentaram estender a indecidibilidade do 10.º problema de Hilbert a outras estruturas, como os anéis de inteiros algébricos.
A abordagem utilizada baseava-se na correspondência entre equações diofantinas e o problema da paragem de Turing. Contudo, como nota a Quanta Magazine, esta correspondência desfazia-se quando as soluções permitiam números não inteiros.
Nos anos 2000, Sasha Shlapentokh e outros matemáticos desenvolveram estratégias para contornar esta dificuldade, adicionando termos às equações diofantinas que forçavam as soluções a comportarem-se como inteiros.
No entanto, persistiu um caso: os anéis contendo o número imaginário.
A chave para resolver este caso residia em curvas elípticas especiais que deveriam satisfazer condições complexas. No entanto, construir estas curvas era um problema extremamente difícil.
Até que…
No início de dezembro, Peter Koymans e Carlo Pagano, especialistas em curvas elípticas, resolveram este desafio mais recente.
Num estudo publicado no arXiv, os matemáticos conseguiram criar uma curva elíptica que preservava a estrutura das soluções nos diferentes anéis de inteiros algébricos.
Esta descoberta permitiu-lhes demonstrar que o 10.º problema de Hilbert continua indecidível para todos os anéis de inteiros.
Na última quinta-feira, uma equipa independente confirmou, por intermédio de outro estudo publicado no arXiv, o resultado de Koymans e Pagano. Neste caso, estiveram em investigação outro tipo de equações.
Os dois grupos de investigadores concordaram que os dois métodos podem ser combinados para avançar em problemas relacionados.
“Há a possibilidade de os dois métodos poderem ser utilizados em conjunto para fazer ainda mais”, enalteceu Manjul Bhargava, matemático da Universidade de Princeton, que esteve envolvido no segundo estudo, citado pela Quanta Magazine.
Estas investigações reforçam a ideia de que há perguntas matemáticas que ficarão para sempre sem resposta, evidenciando os limites do conhecimento humano.
