ZAP // Dall-E 2
Um novo tipo de infinito descoberto por matemáticos parece quebrar as regras de comportamento de números extremamente grandes, e poderá redesenhar a forma como o universo matemático está ordenado.
Pensamos que “o infinito é o infinito e ponto final”, mas não é bem assim.
Os matemáticos há muito que sabem que existe mais do que um tipo de infinito.
Em 1878, Georg Cantor mostrou pela primeira vez que o conjunto infinito dos números reais, que inclui os negativos e os decimais, é de facto maior do que o conjunto infinito dos números naturais, ou inteiros. A prova deste facto implica uma comparação cuidadosa entre os dois conjuntos, em vez de se tentar a tarefa impossível de os contar a todos.
Os matemáticos depressa se aperceberam que podiam construir conjuntos infinitos cada vez maiores, criando uma escada hierárquica de conjuntos que é ela própria infinita.
No entanto, um grupo de matemáticos da Universidade de Viena propõe agora dois novos tamanhos de infinito, chamados cardinais exatos e ultra-exatos, que não obedecem às regras.
Estes dois novos tamanhos de infinito, explica, à New Scientist, o líder da investigação Juan Aguilera, “não se enquadram bem nesta hierarquia linear. Interagem de forma muito, muito estranha com outras noções de infinito”.
Num estudo, cujos resultados foram publicados recentemente no arXiv, os investigadores definiram estes conjuntos tornando-os tão grandes que têm de conter cópias matematicamente exatas de toda a sua estrutura. Os cardinais ultra-exactos têm uma regra adicional, que diz que estes conjuntos também devem conter as regras matemáticas de como os fazer.
Como explica a revista supramencionada, estas propriedades invulgares são o que faz com que estes conjuntos caiam da escada do infinito, uma vez que provocam estragos em algumas das regras mais profundas da matemática.
Axioma da escolha
No início do século XX, procurou-se estabelecer uma base rigorosa para a matemática, tendo-se criado um conjunto de axiomas fundamentais. Eis que surgiu a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Esta teoria incluía uma regra controversa chamada axioma da escolha.
Alguns matemáticos sentiram que este axioma não funcionava quando se consideravam conjuntos infinitos, porque exigiria afirmar a existência de objetos matemáticos sem oferecer uma forma de os provar. No entanto, com o passar do tempo, acabaram por aceitar a regra e esta é agora utilizada como um instrumento de medida fundamental para organizar a escada infinita, dividindo-a em três grandes regiões.
Estes infinitos são organizados em três regiões principais: a primeira, contendo os infinitos definidos pelos axiomas dos conjuntos, como os números reais e naturais; a terceira, onde os axiomas, incluindo o da escolha, falham; e uma segunda região intermédia, com infinitos cuja posição ainda é incerta.
Inicialmente, os cardinais exatos e ultra-exatos pareciam encaixar na segunda região, mas quando a equipa tentou identificá-los… descobriu que não era possível.
Uma quarta região misteriosa
“Podem estar no topo desta região intermédia, onde os axiomas ainda são compatíveis com todos os outros axiomas da teoria dos conjuntos, ou podem estar a formar uma quarta região que está mais ou menos ao lado da região caótica, mas em cima das anteriores”, diz Aguilera.
Se estes cardinais exatos forem aceites pela comunidade matemática em geral, então “sugere fortemente que o caos reine”, dando vida a um infinito alucinante, explica Philipp Lücke, membro da equipa de investigação, à New Scientist.
O Chuck Norris contou 2 vezes até ao infinito de trás para a frente.