Afinal os números não são infinitos? Matemáticos amadores estão a aproximar-se do número colossal que vem desafiar o limite da matemática moderna.
Um grupo de matemáticos amadores estará a aproximar-se da descoberta de um número tão grande que desafiará os limites do conhecimento matemático — um marco que poderá revelar até onde vai, efetivamente, a capacidade da matemática contemporânea para compreender o infinito.
O enigma nasceu de uma questão não tão complicada: “como saber se um programa de computador irá correr para sempre?”.
A resposta remonta aos anos 1930, quando o matemático Alan Turing demonstrou que qualquer algoritmo pode ser representado por uma “máquina de Turing” — um dispositivo teórico que lê e escreve zeros e uns numa fita infinita, de acordo com um conjunto de instruções, ou “estados”.
Quanto mais complexa a tarefa, mais estados são necessários.
A partir disso nasce a função Busy Beaver (Castor Atarefado), que identifica o maior número de passos que qualquer máquina de Turing com um número específico de estados pode executar antes de parar.
Esta sequência cresce de forma explosiva, explica a New Scientist: BB(1) é 1, BB(2) é 6, e BB(5) já é 47.176.870.
A descoberta desse último valor, feita em 2024 — após 40 anos atrás dela — reacendeu o entusiasmo em torno do cálculo de BB(6) — ainda desconhecido, mas agora com novas pistas promissoras.
O grupo Busy Beaver Challenge, criado online em 2022, lidera a exploração. Recentemente, o membro “mxdys” estabeleceu que BB(6) é, pelo menos, tão grande como um número que só pode ser descrito através de conceitos matemáticos altamente avançados, como a tetração — uma forma de exponenciação iterada que ultrapassa em muito os limites da notação tradicional.
Neste caso, BB(6) é no mínimo 2 tetracionado a 2, tetracionado a 2, tetracionado a 9 — um verdadeiro arranha-céus numérico que faz com que o número total de partículas no universo pareça insignificante.
Mas a relevância da função Busy Beaver vai além do tamanho dos números. Inspirado pelo teorema da incompletude de Kurt Gödel, Turing demonstrou que existem máquinas de Turing cujo comportamento não pode ser previsto usando os axiomas da teoria ZFC — o sistema de base da matemática moderna.
Isto significa que há limites intrínsecos ao que pode ser provado matematicamente. A função BB torna esses limites tangíveis, permitindo que os matemáticos se perguntem, por exemplo, se uma máquina com apenas seis estados já desafia ZFC, ou se é preciso um número muito maior de estados.
Até agora, sabe-se que BB(643) já ultrapassa a capacidade de ZFC para prever o seu comportamento. Mas há muitas outras máquinas com menor número de estados ainda por estudar. Para o informático Tristan Stérin, criador do Busy Beaver Challenge, esta função oferece uma escala completa para refletir sobre a fronteira do conhecimento matemático.
Scott Aaronson, professor na Universidade do Texas em Austin, diz à revista New Scientist que os primeiros 100 valores da função Busy Beaver podem conter uma vasta quantidade de “verdades matemáticas interessantes”.
O BB(6), por exemplo, parece ter ligação com a célebre Conjetura de Collatz — um problema ainda não resolvido, que envolve operações aritméticas simples e cuja relação com máquinas de Turing poderá trazer novas formas de abordagem computacional ao problema.
Parece difícil que por mais colossal que seja esse número não se lhe possa acrescentar mais um.