Christian Kastrup, James Baylis
O novo pó de partículas autopropulsionadas coagulantes
Pode um único quadro matemático descrever o movimento de um fluido e das partículas individuais que o compõem? Esta questão, feita pela primeira vez em 1900, tem agora uma solução e vem ajudar-nos a compreender o comportamento complexo da atmosfera e dos oceanos.
Os matemáticos conseguiram finalmente unificar as principais leis da física que regem os movimentos das partículas a diferentes escalas.
O estudo publicado no início do mês no arXiv vem resolver uma questão colocada pelo matemático David Hilbert em 1900 como parte de um programa ambicioso para todos os matemáticos do século XX.
Como explica a New Scientist, a nova investigação demonstra como é possível juntar de forma consistente e significativa leis físicas a três escalas diferentes.
Em primeiro lugar, existe o domínio microscópico das partículas individuais que colidem umas com as outras de acordo com as leis do movimento de Isaac Newton.
Depois, no domínio mesoscópico dos objetos maiores, as coleções dessas partículas seguem as leis estatísticas criadas por Ludwig Boltzmann.
Na escala macroscópica, ainda maior, onde residimos, os físicos recorrem a ferramentas matemáticas notoriamente difíceis, como a equação de Navier-Stokes, que capta todas as complexidades do comportamento de um fluido.
Ao longo dos anos, os físicos e os matemáticos estabeleceram algumas ligações entre as três estruturas, mas até agora nunca foram totalmente unidas.
Isto acabou por se transformar no sexto problema da agenda de Hilbert – que exige a derivação das leis que ditam o comportamento dos fluidos a partir dos axiomas matemáticos mais básicos.
Eis que 125 depois…
A equipa de investigação encontrou um ingrediente-chave da abordagem que é a reformulação dos cálculos em termos de diagramas originados pelo físico Richard Feynman, que os utilizou para resolver problemas da teoria quântica dos campos.
Os matemáticos aprenderam a utilizar estes diagramas para resolver equações difíceis para partículas que interagem repetidamente umas com as outras, como acontece num fluido, mas isto pode tornar-se esmagador. Em vez disso, a equipa encontrou uma forma de reduzir o número de diagramas que tinham de calcular exatamente, o que lhes permitiu construir um caminho matemático claro desde as leis de Newton até à equação de Navier-Stokes.
Como nota a New Scientist, a nova prova reafirma a forma como os físicos têm vindo a pensar sobre fluidos e gases há mais de um século, garantindo simultaneamente uma base matemática sólida.
“A importância do sexto problema de Hilbert não é apenas em termos de axiomatizar as leis da física, mas também em termos de compreender as implicações destes modelos [matemáticos]. Sabemos que, a dada altura, eles acabam por falhar. Penso que a motivação moderna para o [sexto] problema de Hilbert deveria ser a compreensão do que acontece quando esses modelos se quebram”, explicou à revista Zaher Hani, um dos autores do estudo da Universidade de Michigan.
A equipa está agora interessada em perceber no que acontece à escala mais pequena e microscópica, quando as equações dos fluidos mais macroscópicos desenvolvem singularidades – ou, por outras palavras, quando as suas soluções deixam de fazer sentido.
