Matemáticos fazem nova descoberta sobre o dodecaedro

Dodecaedro

Uma equipa de três matemáticos fez uma nova descoberta sobre o dodecaedro. Os investigadores responderam a uma das perguntas mais básicas sobre este sólido geométrico.

Matemáticos estudam os cinco sólidos platónicos – tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro – há mais de 2.000 anos e ainda há muito que desconhecem sobre eles. Tanto que, recentemente, uma equipa de três matemáticos encontrou resposta para uma das questões mais básicas sobre o dodecaedro, escreve a Quanta Magazine.

Se nos encontrarmos num dos cantos de um sólido platónico, há algum caminho reto que se possa seguir e que eventualmente nos leve de volta ao mesmo ponto sem passar por nenhum dos outros cantos?

Investigadores descobriram que, para o cubo, tetraedro, octaedro e icosaedro, a resposta é não. Contudo, com o dodecaedro, um sólido formado por 12 pentágonos, os matemáticos descobriram que há um número infinito de caminhos possíveis. Os resultados do estudo foram publicados, em maio, na revista científica Experimental Mathematics.



“Há vinte anos, [esta questão] estava absolutamente fora de alcance. Há 10 anos, isso exigiria um enorme esforço de escrever todo o software necessário. Só agora todos os fatores se juntaram”, explicou Anton Zorich, do Instituto de Matemática de Jussieu, em Paris.

Os investigadores descobriram como classificar todos os caminhos retos, começando num canto e terminando no mesmo ponto de partida, evitando todos os outros cantos. Os caminhos encontrados podem ser divididos em 31 famílias naturais.

Para perceber melhor caminhos retos num sólido platónico, o aconselhável é começar por cortar as arestas até o sólido ficar plano, formando aquilo que os matemáticos chamam de rede. Eis o exemplo disso com um cubo:

No caso do dodecaedro, cada vez que a linha reta atingia um novo pentágono, os cientistas colavam uma nova rede por cima, mas com uma rotação de 36º. Depois de fazerem todas as colagens possíveis de arestas paralelas correspondentes, finalizaram com aquilo que é chamado de superfície de translação.

O resultado é uma representação altamente redundante do dodecaedro, com 10 cópias de cada pentágono, ficando no formato de um donut com 81 buracos.

Os matemáticos aperceberam-se que a superfície do donut forma uma representação redundante não apenas do dodecaedro, mas também de uma das superfícies de translação mais estudadas: o pentágono duplo.

Wikimedia

Um azulejo em forma de pentágono duplo.

Como o pentágono duplo e o dodecaedro são primos geométricos, o alto grau de simetria do primeiro pode elucidar a estrutura do segundo. “O facto de o dodecaedro ter este grupo de simetria oculto é, na minha opinião, extraordinário”, disse Alex Eskin, da Universidade de Chicago, citado pela Quanta Magazine.

Através de um algoritmo para analisar superfícies de translação altamente simétricas, os investigadores descobriram e categorizaram todos os caminhos retos do dodecaedro.

ZAP //

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