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A fascinante história do último teorema de Fermat dura há centenas de anos. Desde então, já teve grandes reviravoltas, erros dececionantes, e até o mais improvável dos matemáticos já andou metido ao barulho.
Se, por um lado, o sonho de qualquer jovem cientista é fazer uma descoberta que mude o curso da história; por outro, o pesadelo é que, depois de ter feito o anúncio e ter sido destaque nas revistas e jornais, alguém descubra que cometeu um erro e se veja arruinado. Foi o que aconteceu a Andrew Wiles em 1993.
Como explica a New Scientist, Wiles trabalhou secretamente, durante sete anos, no seu sótão, para tentar resolver um quebra-cabeças numérico que tinha derrotado os maiores matemáticos durante 350 anos.
Quando finalmente o decifrou (ou assim pensava), descreveu a prova em 3 horas de palestras, sem ninguém se aperceber de uma falha crucial.
Mas mais tarde, quando os especialistas examinaram a estrutura da prova, aperceberam-se de que o elo que ligava dois desses passos era defeituoso – e bastou um elo fraco numa cadeia enorme para quebrar toda a estrutura.
Felizmente, a história teve um final feliz, uma vez que a resistência e o engenho de Wiles aperfeiçoaram o elo — e o último teorema de Fermat foi por fim provado.
A beleza deste teorema reside no facto de ser extremamente fácil de compreender. Todas as crianças sabem o teorema de Pitágoras.
“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”
Este facto inspirou o problema de Fermat que frustrou durante três séculos os matemáticos, pelo facto de não existirem números inteiros que satisfaçam a equação an + bn = cn para n maior que 2.
Por exemplo, tente encontrar três números inteiros a, b e c que sejam soluções de a3 + b3 = c3. Já pode parar de tentar. Não há nenhum.
Fermat e Wiles tinham razão
Wiles encontrou pela primeira vez o último teorema de Fermat num livro da biblioteca aos 10 anos e decidiu dedicar-lhe a sua vida.
Como data a New Scientist, o elo crítico que levou ao assalto de Wiles ao topo aconteceu em 1984, quando Ken Ribet mostrou que se a conjetura de Shimura-Taniyama fosse verdadeira, então o último teorema de Fermat também o seria.
O caminho ficou então aberto para Andrew Wiles. Se ele conseguisse provar a conjetura de Shimura-Taniyama, então, graças ao trabalho de Ken Ribet, também teria provado Fermat.
Isto levou a sete anos de trabalho em isolamento secreto, o seu momento de triunfo quando anunciou o seu sucesso, seguido de meses de agonia enquanto tentava corrigir a sua teoria quebrada. Finalmente, em 1995, o seu triunfo foi completo.
Graças a Pitágoras, a simples adição de números inteiros, a + b = c, foi elevada à adição dos seus quadrados: a2 + b2 = c2. Há uma infinidade de números inteiros que satisfazem a primeira destas condições e, do mesmo modo, há uma infinidade que satisfazem as somas dos quadrados.
Os matemáticos adoram as simetrias dos números, e há muito que procuraram exemplos em que os cubos de números inteiros não nulos se somam: a3 + b3 = c3.
No entanto, como Fermat suspeitava e Wiles acabou por provar, não há números inteiros que satisfaçam essa potência ou qualquer outra superior. A adição de números inteiros termina em quadrados.
Ou, pelo menos, acaba até que alguém encontre um contra-exemplo…
É aqui que entra Homer Simpson…
Num episódio da série televisiva de desenhos animados Os Simpsons, parecia que Fermat tinha sido derrubado.
Homer Simpson, num sonho, escreveu que 1782 elevado à 12ª potência mais 1841 elevado à 12ª potência é igual a 1922 elevado à 12ª potência:
178212 + 184112 = 192212
Um artigo do San Francisco Chronicle, em novembro de 2005, citado pela New Scientist, apresentou esta equação notável e acrescentou a confirmação de que os números, de facto, coincidiam.
“Teremos encontrado a tão procurada refutação de Fermat?”, questionou o jornal.
De acordo com a calculadora, a resposta parece ser sim.
No entanto, o que ficou demonstrado foi a limitação de uma calculadora, e não o teorema de Fermat.
Além disso, é possível ver que a equação não é verdadeira sem calcular os termos individuais. O produto de pares (o primeiro termo) é par; o produto de ímpares (o segundo termo) é ímpar. A soma de um par e de um ímpar é ímpar (o lado esquerdo da equação).
Quanto ao lado direito, um produto de potências pares, deve ser par. É evidente que algo está errado aqui.
A explicação é que a 12ª potência conduz a números com quarenta inteiros; e após dez dígitos, a maioria das calculadoras manuais arredonda o último dígito para cima ou para baixo para manter uma aproximação à resposta.
Na realidade, a soma à esquerda da equação é igual à 12ª potência não de 1922 mas de 1921.99999996, que numa calculadora manual arredonda para 1922. Isto pode ser ótimo para a computação prática – mas não para a precisão perfeita exigida por um teorema matemático.
Conclusão: O teorema de Fermat sobreviveu ao matemático Homer Simpson!
