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Uma nova pesquisa revela a solução para as equações polinomiais de grau superior recorrendo aos números de Catalan.
Um matemático australiano e um informático norte-americano fizeram um avanço histórico na resolução de um dos mais antigos enigmas da álgebra: as equações polinomiais de grau superior.
Norman Wildberger, da Universidade de Nova Gales do Sul (UNSW), e Dean Rubine desenvolveram uma nova abordagem que poderá revolucionar conceitos fundamentais da matemática e das suas aplicações.
Durante quase 200 anos, os matemáticos souberam como resolver equações polinomiais de graus inferiores – tais como equações lineares, quadráticas, cúbicas e quárticas. No entanto, as equações do quinto grau ou superiores foram durante muito tempo consideradas impossíveis de resolver com exatidão utilizando os métodos tradicionais, recorrendo-se em vez disso a aproximações.
A pesquisa de Wildberger e Rubine, publicada no The American Mathematical Monthly, substitui estas aproximações por uma nova abordagem exata baseada na combinatória, especificamente nos números de Catalan. Estes números já são conhecidos pelo seu papel na contagem e organização de formas, como a triangulação de polígonos, e estão profundamente ligados à resolução de equações quadráticas, explica o Science Alert.
A sua inovação consiste em alargar a lógica dos números de Catalan para além dos triângulos e das formas básicas, para uma estrutura matemática mais ampla. Esta mudança permite obter soluções exatas para equações polinomiais de grau superior, contornando a tradicional dependência de expressões radicais como raízes quadradas e raízes cúbicas.
“Os números de Catalan estão intimamente ligados à equação quadrática”, disse Wildberger. “A nossa inovação reside na ideia de que, se quisermos resolver equações mais elevadas, devemos procurar análogos mais elevados dos números de Catalan.”
Para validar a sua abordagem, a dupla aplicou-a a várias equações bem conhecidas, incluindo uma equação cúbica clássica do matemático do século XVII John Wallis – e os seus cálculos mantiveram-se.
O seu trabalho também introduziu uma nova estrutura matemática, designada por “Geode”, que parece estar na base dos números de Catalan. O Geode pode tornar-se uma base para outras descobertas matemáticas e tem implicações potenciais muito para além da matemática pura.
“Esta é uma revisão dramática de um capítulo básico da álgebra”, disse Wildberger. “A nossa solução reabre um livro anteriormente fechado na história da matemática”.
As implicações são significativas. O seu método pode ter impacto nos algoritmos informáticos, na estruturação de dados, na teoria dos jogos e até em estudos biológicos. Como referiu Wildberger, “trata-se de um cálculo essencial para grande parte da matemática aplicada, pelo que esta é uma oportunidade para melhorar os algoritmos numa vasta gama de áreas”.
