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O conjunto de Mandelbrot continua a intrigar matemáticos e artistas, com a sua aparência hipnótica e as dúvidas em torno da conetividade local.
Durante quase cinco décadas, os matemáticos têm-se debatido com um mundo enigmático definido por apenas quatro palavras simples: “z ao quadrado mais c”.
Embora possa parecer uma equação vulgar, estas quatro palavras englobam em si um reino infinitamente complexo conhecido como o conjunto de Mandelbrot. Descoberto em 1978 pelo Professor Benoit Mandelbrot, este conjunto tem desde então fascinado tanto cientistas como artistas, misturando a teoria matemática com uma beleza visual cativante.
À primeira vista, o conjunto de Mandelbrot pode parecer uma forma simples e abstrata, mas um zoom à imagem revela um conjunto hipnótico e interminável de espirais, círculos e padrões psicadélicos. O detalhe infinito do conjunto significa que, por muito que o ampliemos, continuam a surgir novas complexidades. A combinação única de complexidade e beleza do conjunto levou-o para além dos círculos matemáticos e inspirou a cultura popular, desde o autor Arthur C. Clarke até ao grupo de atuação Blue Man Group, refere o Science Focus.
O conjunto de Mandelbrot visualiza como a equação “z ao quadrado mais c” se comporta com diferentes valores. Começando com z como 0 e escolhendo um valor para c, a equação é iterada repetidamente, com cada novo resultado a tornar-se no próximo z. É essencialmente a coleção de valores de c dentro de um determinado limite, demonstrando uma ordem inesperada no meio do caos aparente.
A complexidade infinita do conjunto resulta da utilização de números complexos, que combinam componentes reais e imaginários. Ao traçar estes números num gráfico, os matemáticos podem visualizar o conjunto e os seus padrões hipnotizantes. Esta representação visual é mais do que apenas estética; é crucial para compreender as implicações matemáticas do conjunto.
Um problema com décadas de existência
Desde a sua criação, o conjunto de Mandelbrot tem colocado desafios difíceis aos matemáticos. Em 1985, o Prof. John Hubbard provou que o conjunto é uma peça unida. No entanto, também introduziu novas questões, nomeadamente se o conjunto é “localmente conexo”. Esta questão, conhecida como MLC (Mandelbrot Locally Connected), continua sem resposta e é considerada o Santo Graal da investigação sobre Mandelbrot.
A conetividade local examina se, numa escala muito pequena, os pontos do conjunto permanecem ligados. Imagine o conjunto de Mandelbrot como um pente com dentes infinitamente pequenos – embora o pente esteja globalmente ligado, os espaços entre os seus dentes desafiam o conceito de conetividade local. Provar ou refutar a MLC é essencial, pois determinaria se existem mistérios escondidos no conjunto que continuam por descobrir.
Ao longo dos anos, os investigadores têm-se debruçado sobre o problema. Em 1989, o Prof. Jean-Christophe Yoccoz mostrou que todos os pontos “finitamente renormalizáveis” do conjunto estão ligados localmente. Mais recentemente, em 2023, o Prof. Mikhail Lyubich e o Prof. Dzmitry Dudko expandiram ainda mais esta compreensão provando a conetividade local para certos pontos complexos. Apesar desses avanços, um número infinito de pontos ainda está em dúvida.
Os matemáticos continuam optimistas quanto à resolução da MLC. Lyubich acredita que existe uma estratégia que pode trazer uma solução ao nosso alcance, embora com obstáculos difíceis de ultrapassar, até mesmo com a ajuda da IA.
O fascínio do conjunto de Mandelbrot não reside apenas na sua profundidade matemática, mas também na sua ressonância metafórica com as complexidades da vida. Tal como o genoma humano codifica um ser humano inteiro com apenas alguns gigabytes de dados, a fórmula simples do conjunto de Mandelbrot gera uma complexidade sem limites. Esta ligação entre simplicidade e complexidade infinita é o que faz do conjunto de Mandelbrot um símbolo tanto da beleza matemática como das maravilhas do mundo natural.
