Dois matemáticos adotaram outra perspetiva: os primos aproximados são muito mais fáceis de encontrar do que os primos.
Os números primos são um fascínio – ou um problema – para quem lida com matemática diariamente.
Estes números, que só são divisíveis por si próprios e por 1, são considerados um dos blocos de construção fundamentais da matemática. E também um dos mais misteriosos.
Parecem aleatórios, mas os matemáticos passaram séculos a tentar identificar estranhos padrões, tendo ainda hoje muito por desvendar, lembra a Quanta Magazine.
Mas agora dois matemáticos adotaram outra perspetiva: os primos aproximados são muito mais fáceis de encontrar do que os primos.
Ben Green, da Universidade de Oxford, e Mehtaab Sawhney, da Universidade de Columbia, alcançaram um avanço significativo na teoria dos números ao resolverem um problema de longa data relacionado a um tipo específico de números primos.
A sua descoberta esclarece padrões intrincados dos números primos e introduz uma ferramenta matemática versátil – a norma de Gowers – a um novo domínio.
O desafio enfrentado pela dupla baseia-se numa conjectura apresentada em 2018 por John Friedlander e Henryk Iwaniec. A conjectura pergunta se existem infinitos números primos na forma \( p^2 + 4q^2 \), onde \( p \) e \( q \) também são primos. As condições restritivas deste problema tornaram-no particularmente difícil de resolver.
Com experiência no estudo de padrões dos números primos, os dois matemáticos repararam que as técnicas tradicionais de contagem revelaram-se inadequadas, levando-os a recorrer a uma solução alternativa inovadora: os primos aproximados.
Os primos aproximados são números que não são divisíveis por um pequeno conjunto de primos, funcionando como uma aproximação aos primos reais.
Utilizando os primos aproximados, os matemáticos provaram uma versão menos restritiva do problema e, depois, enfrentaram a tarefa mais complexa de ligar este resultado aos primos reais.
Isto exigiu a análise de funções matemáticas especiais e a demonstração de equivalência entre os resultados obtidos com primos aproximados e primos reais.
A norma de Gowers, uma ferramenta criada por Timothy Gowers para medir aleatoriedade e estrutura, desempenhou um papel crucial neste estudo.
Embora originalmente não relacionada com a teoria dos números, Green e Sawhney adaptaram a norma para preencher a lacuna entre os seus resultados com primos aproximados e reais.
Os seus esforços culminaram na prova da conjectura de Friedlander e Iwaniec.
Além disso, ampliaram o trabalho para demonstrar que existem infinitos números primos em outras formas restritas.
“Este resultado é espetacular,” disse Friedlander.
