Um professor desafiou os alunos com um problema matemático que envolvia um fractal de “aparência fixe” chamado esponja de Menger. Não esperava que três adolescentes o resolvessem.
Os fractais, estruturas geométricas que podem ser infinitamente divididas em estruturas geométricas semelhantes a si próprias, tem inúmeras aplicações práticas em áreas como a computação, física, biologia, arte e arquitetura.
Em 1926, Karl Menger apresentou um “fractal esponja”, atualmente conhecido como esponja de Menger. Tem uma “aparência fixe”, como a descreve a Quanta Magazine, e é como se fosse um cubo mágico “esburacado”.
Chama-se esponja porque os seus “poros” vão-se multiplicando à medida em que se vai retirando o núcleo central de cada cubo pequeno, que em conjunto constituem o cubo grande.
Se continuarmos a retirar pedaços cada vez mais pequenos, o que começou por ser um cubo transforma-se noutra coisa completamente diferente. Após um número infinito de iterações, o volume da forma diminui para zero, enquanto a sua área de superfície aumenta infinitamente.
University of Toronto
Niko Voth (dir. topo), Joshua Broden (em baixo) e Noah Nazareth (esq) com o seu professor, o matemático Malors Espinosa
Esta é a estranheza dos fractais: pairar algures entre dimensões, ocupando espaço sem o preencher verdadeiramente.
O professor do secundário canadiano Malors Espinosa encontrou o fractal da esponja ao ler um livro sobre o caos, na mesma altura em que ensinava os seus alunos de um curso de verão a apresentar provas matemáticas. Achou divertido partilhar nas aulas este fractal.
Espinosa encontrou um problema na fórmula de Menger: o matemático tinha provado que era possível encontrar um círculo na sua esponja. Mas e os objetos que eram equivalentes, num certo sentido, ao círculo, por exemplo… os nós?
Visto de fora, um nó pode parecer um emaranhado. Mas uma formiga que o percorresse acabaria por voltar ao ponto de partida, tal como acontece num círculo. Desta forma, cada nó é equivalente, ou “homeomórfico” (com forma semelhante), a um círculo.
O fractal da esponja só refria círculos, mas Espinosa queria provar que era possível encontrar também os homeomórficos dos círculos, por exemplo, todos os nós dentro da esponja. Esperava mesmo que houvesse uma resposta”, disse Espinosa ao Quanta.
E havia: passado algum tempo, três alunos, Joshua Broden, Noah Nazareth e Niko Voth, com a ajuda do professor e várias reuniões Zoom depois, provar que todos os nós podem ser encontrados dentro do fractal da esponja de Menger (e ainda dentro de um outro fractal semelhante).
Os alunos, adolescentes canadianos, têm agora um estudo publicado em seu nome na Universidade de Cornell.
“Foi um pouco enervante, porque era a primeira vez que estava a fazer algo em que realmente ninguém tinha a resposta, nem mesmo o professor”, disse Nazareth.
O objetivo dos jovens era essencialmente perceber o resultado de enfiar uma agulha de costura microscópica através de uma nuvem de pó — o material que restava da esponja depois de muitas remoções.
Teriam, então, de espetar o alfinete nos sítios certos, atar os nós com uma precisão imaculada e nunca deixar a esponja. Se o fio acabasse a flutuar nos buracos vazios da esponja por qualquer nó, era o fim do jogo.
Não é uma tarefa fácil. Mas havia uma forma de a simplificar.
Os nós podem ser representados numa folha de papel plana como diagramas especiais: as apresentações em arco. Para criar um, começa-se com informação sobre como os fios do nó passam à frente ou atrás uns dos outros. Depois, aplica-se um conjunto de regras para traduzir esta informação numa série de pontos numa grelha. Cada linha e coluna da grelha conterá exatamente dois pontos.
Todos os nós podem ser representados desta forma em grelha.
O problema é que em cada um dos cantos da apresentação em arco, as duas faces teriam de ser ligadas através do interior da esponja sem atingir acidentalmente um buraco. E foi aqui que entrou o conjunto Cantor.
O conjunto Cantor é um análogo unidimensional da esponja de Menger. Nos pontos das faces da esponja cujas coordenadas estão ambas no conjunto de Cantor, aperceberam-se de que não deveria haver um buraco. Pelo contrário: também não há buracos diretamente atrás desses pontos. Problema resolvido.
E como se provou que todos os nós do mundo podem ser encontrados neste fractal?
“Estamos a enfrentar a matemática, e a matemática não tem piedade“, disse Broden. “Com a matemática tal como é apresentada aos alunos do ensino secundário, eles estão normalmente protegidos disso”. Mas não era este o caso.
E, então, os jovens foram mais além: descobriram uma nova forma de mapear a apresentação do arco do nó trifólio no tetraedro. Mais tarde, provaram que isto podia ser feito para todos os nós “pretzel”, a classe mais geral de nós a que pertence o trifólio — embora a questão permaneça em aberto para outros tipos de nós.
Os adolescentes cresceram e são agora universitários. Nazareth continua a acreditar que “é significativo estar a tentar contribuir para algo maior do que eu, para a natureza da verdade”.
